Las ecuaciones que nadie ha conseguido resolver y que valen un mill贸n de d贸lares


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En el mundo que nos rodea persisten desde el inicio de los tiempos algunos fen贸menos que se escapan del deseable pleno control del ser humano.

La propagaci贸n de un incendio, la trayectoria que seguir谩 el agua en una inundaci贸n (o m谩s dom茅sticamente, d贸nde se habr谩 generado la filtraci贸n que ha provocado una gotera en el techo), las turbulencias a茅reas o marinas que provocan incomodidades y a veces desastres, o algo tan banal como conocer si llover谩 o har谩 un calor insoportable el pr贸ximo fin de semana. Todos ellos fen贸menos de distinta 铆ndole y naturaleza, aparentemente.

Alfonso Jes煤s Poblaci贸n es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisi贸n de divulgaci贸n de la RSME

Si indagamos un poco en lo que los provoca, encontraremos que tienen algo en com煤n: est谩n originados por fluidos. Los fluidos desde un punto de vista f铆sico-qu铆mico son conjuntos de part铆culas unidas entre s铆 por fuerzas d茅biles que permiten que ante una fuerza externa las posiciones de sus mol茅culas var铆en, fluyan (de ah铆 su nombre). Es el caso de los l铆quidos, los gases y el plasma.

L铆quidos y gases se adaptan al lugar en el que se encuentran, pero mientras los primeros son incompresibles (por mucho que los 鈥渁chuchemos鈥, su volumen sigue siendo el mismo), los segundos no, aunque si se les deja, tienden a ocupar el mayor espacio posible, se expanden. Los l铆quidos, adem谩s, ejercen presi贸n sobre los cuerpos que se sumergen en ellos y sobre las paredes del recipiente que los contiene (presi贸n hidrost谩tica). La parte de la F铆sica que estudia los fluidos y sus aplicaciones se llama mec谩nica de fluidos, que se divide en hidrost谩tica (se ocupa de los fluidos en reposo o en equilibrio) y la hidrodin谩mica (fluidos en movimiento). Llegados a este punto, el lector se estar谩 preguntando: 驴Y qu茅 pintan las matem谩ticas en asuntos de naturaleza tan f铆sica? 驴Me he confundido de secci贸n o se han confundido ellos? Un poco de paciencia, que vamos acerc谩ndonos.

En 1822, el matem谩tico e ingeniero franc茅s Claude-Louis Navier (con una extensa carrera investigadora a pesar de fallecer a los 41 a帽os) deduce un sistema de ecuaciones que describe el comportamiento de algunos fluidos. Veinte a帽os despu茅s, Sir George Gabriel Stokes, partiendo de un modelo diferente, completa la descripci贸n de esas ecuaciones, bautizadas como ecuaciones de Navier-Stokes en honor a ambos. Simplificando, digamos que se obtienen aplicando los principios de conservaci贸n de la mec谩nica y la termodin谩mica a un volumen fluido. As铆 se obtiene la llamada formulaci贸n integral de las ecuaciones, aunque se suele trabajar con ellas a partir de su formulaci贸n diferencial, como la que aparece en la imagen adjunta (que representa el caso concreto de un fluido viscoso pero incompresible).

Estas ecuaciones determinan el comportamiento de los llamados fluidos newtonianos. Un fluido newtoniano es aquel cuya resistencia a deformaciones (viscosidad) puede considerarse constante en el tiempo. El ejemplo m谩s socorrido es el agua (viscosidad nula), aunque otros fluidos habituales en nuestro quehacer diario, bajo condiciones normales de presi贸n y temperatura, se comportan como newtonianos, como el aire, algunos aceites, etc. Fluidos no newtonianos ser铆an los geles, el pegamento, la miel o la sangre, por citar algunos de los m谩s comunes. Para los fluidos newtonianos, si represent谩ramos gr谩ficamente la relaci贸n entre la fuerza ejercida (en un eje de coordenadas) y la velocidad de deformaci贸n del fluido (en el otro eje) nos aparece una l铆nea recta (dicho de otro modo, esa relaci贸n es lineal), por lo que se trata de los fluidos m谩s sencillos de describir.

Tratemos al menos de saber qu茅 representa cada t茅rmino de las ecuaciones: hay valores constantes (蟻 la densidad, 渭 la viscosidad), las velocidades de desplazamiento en cada direcci贸n (vx, vy, vz), las derivadas parciales de estas velocidades respecto a cada direcci贸n y respecto al tiempo, y sus derivadas de segundo orden, P es la presi贸n del fluido y g la fuerza de la gravedad. El problema es que desconocemos una soluci贸n general para ese tipo de sistemas de ecuaciones, que los matem谩ticos llamamos no lineal de segundo orden.

La turbulencia

En los a帽os treinta del siglo pasado, el matem谩tico franc茅s Jean Leray avanz贸 en el intento de resoluci贸n demostrando que existen soluciones (otra cosa es encontrarlas) y son 煤nicas, pero solo localmente (en el entorno de un punto), definiendo conceptos que se aproximen a la soluci贸n (soluciones d茅biles) y probando su existencia, entre otras cosas. Muchos especialistas han venido trabajando en el tema desde su propuesta. Pero el asunto es a煤n m谩s complejo por culpa de una caracter铆stica adicional que presentan los fluidos: la turbulencia. No existe a d铆a de hoy una explicaci贸n matem谩tica rigurosa de c贸mo un fluido pasa de tener un flujo regular a uno turbulento. Ya Leonardo da Vinci observ贸 en su tiempo la aparici贸n de remolinos a diferentes escalas. Y los matem谩ticos han definido un concepto que cuantifica la rotaci贸n de un fluido d谩ndole un nombre identificativo: el rotacional.

Leray conjetur贸 que el fen贸meno de la turbulencia podr铆a tener que ver con la existencia de lo que los matem谩ticos denominamos singularidades de las soluciones del sistema de ecuaciones. Para hacernos una idea de la complejidad del problema, el f铆sico alem谩n Werner Heisenberg nos dej贸 una reflexi贸n que ha quedado como un icono: 鈥淐uando me encuentre con Dios, le har茅 dos preguntas: 驴Por qu茅 la relatividad? y 驴por qu茅 la turbulencia? Estoy seguro de que me sabr谩 contestar a la primera鈥.

En matem谩ticas, y en la ciencia en general, cuando nos encontramos estancados ante un problema, los investigadores tratan de hacerlo frente por otros caminos diferentes. Es como cuando un aventurero al escalar una monta帽a, o tratar de profundizar a trav茅s de la espesura de la jungla se encuentra con algo imposible de superar. Entonces busca otra v铆a que le permita llegar a donde desea. Y muchas veces esos nuevos enfoques nos permiten realizar nuevos descubrimientos. Este es el caso.

El meteor贸logo Edward Lorenz se plante贸 en los a帽os sesenta del siglo pasado la siguiente cuesti贸n: resueltas las ecuaciones de Navier-Stokes, 驴podr铆amos predecir el tiempo meteorol贸gico con mayor precisi贸n y a m谩s largo plazo? 驴C贸mo es posible que conociendo exactamente las ecuaciones que rigen la circulaci贸n atmosf茅rica y las condiciones de partida no se llegue a predecir con un grado de fiabilidad aceptable el tiempo que har谩 tres d铆as despu茅s? Lo que hizo para experimentar fue simplificar extraordinariamente las ecuaciones, dando valores num茅ricos concretos y tratando de aproximarlas (en vez de en modo exacto, con n煤meros decimales). Tampoco consigui贸 resolver el 鈥渁parentemente sencillo鈥 sistema. Pero encontr贸 algo que nunca hubiera podido imaginar.

Al tratar las ecuaciones num茅ricamente, con los ordenadores de aquellos a帽os, descubri贸 algunos comportamientos singulares:

1.- La evoluci贸n de cada una de las componentes de la soluci贸n era tan extra帽a que indicaba un comportamiento que parec铆a fruto del azar.

2.- Al representar gr谩ficamente la sucesi贸n de valores que toman las soluciones en el transcurso del tiempo, obtuvo una trayectoria que se enrolla sobre un curioso objeto de dos l贸bulos. Dicho objeto, que atrae toda trayectoria, no tiene volumen, pero tampoco es una simple superficie. No era plano (aparentaba tener algo m谩s que largo y ancho, dos dimensiones), pero no llegaba a ser tridimensional (largo, alto y ancho). As铆 apareci贸 el primer 鈥渁tractor extra帽o鈥 (ver imagen; hoy se conoce como atractor de Lorenz) y motiv贸 el estudio de la geometr铆a fractal.

3.- Al querer rehacer con m谩s detalle el c谩lculo de la soluci贸n para un tiempo largo, Lorenz introdujo en el ordenador los valores que hab铆a obtenido para un tiempo menor, observando que las soluciones no ten铆an ninguna relaci贸n con las previas. Se percat贸 de que las soluciones depend铆an del n煤mero de cifras significativas consideradas en los c谩lculos (el ordenador proporcionaba seis decimales, pero la impresora s贸lo le daba tres). Este peque帽o error crec铆a exageradamente lo que pon铆a en evidencia la sensibilidad del sistema de Lorenz respecto de las condiciones iniciales. Peque帽as variaciones provocaban soluciones muy diferentes (sistema mal acondicionado lo llamamos). Traducido a su campo de investigaci贸n, un m铆nimo error de observaci贸n cambiaba completamente el tiempo que har铆a al cabo de una semana. Lorenz bautiz贸 este efecto con una imagen muy impactante y medi谩tica, el Efecto Mariposa (El aleteo de una mariposa en Jap贸n puede provocar un hurac谩n en Los 脕ngeles), origen de la teor铆a del Caos. Esto zanjaba negativamente la posibilidad de conocer la evoluci贸n del tiempo que va a hacer en un plazo de tiempo largo, porque nos encontramos con un sistema impredecible. Cosas que prueban las matem谩ticas.

El d铆a de ma帽ana

Para finalizar, un hecho que nos confirma una vez m谩s que los descubrimientos realizados te贸ricamente, pueden tener aplicaciones insospechadas en el futuro. En el cine, cuando se deseaba quemar una casa, o que hubiera una inundaci贸n, literalmente se incendiaba un edificio real o una maqueta en el primer caso, y se utilizaba una gran piscina en el segundo. Hasta que, a Nick Foster, ingeniero de software, se le ocurri贸 hacer lo que a Edward Lorenz con las ecuaciones de Navier-Stokes: trocearlas qued谩ndose s贸lo con aquellas partes que tratadas num茅ricamente en el ordenador fueran capaces de captar la esencia del movimiento del fluido que se desee representar (agua en su caso).

El ojo humano percibe una cantidad limitada de informaci贸n, as铆 que se le puede 鈥渆nga帽ar鈥 sin que se d茅 cuenta. Dej贸 en las ecuaciones aquellas expresiones que transmiten la turbulencia y el chapoteo del agua de forma realista, despreciando el resto, hasta crear una imagen convincente. Y gan贸 el Oscar a los mejores efectos especiales por HormigaZ (1999) gracias a ello. Pero no s贸lo eso. Desde entonces, a partir del software que desarroll贸 con este procedimiento y otros que lo han perfeccionado, ya no hace falta que un especialista se queme bajo un chaleco ign铆fugo, ni haya que retocar los fotogramas o echar mano de maquetas para poder inundar completamente ciudades como Nueva York como se ve en la imagen de El d铆a de ma帽ana (2004). Permitan que me reitere: gracias a las matem谩ticas. Y eso que a煤n no hemos encontrado la soluci贸n general de las ecuaciones de Navier-Stokes, uno de los problemas que la fundaci贸n Clay premia con un mill贸n de d贸lares al que lo resuelva. Aunque sinceramente creo que deber铆an incrementar ligeramente la recompensa, al menos proporcionalmente al n煤mero de a帽os que lleve sin resolverse y a su utilidad, 驴no creen?

 

abc

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